Федорюк М.В. Асимптотика. Интегралы и ряды

М.: Наука, 1987. — 544 с.: ил. — (Справочная математическая библиотека).В книге приведены основные методы вычисления асимптотики интегралов, сумы и рядов. Рассмотрен ряд приложений к задачам механики и физики.Для математиков, механиков, физиков, инженеров, а также для студентов и аспирантов университетов и инженерно-физических вузов.Предисловие
В многочисленных задачах естествознания возникают интегралы и ряды, содержащие большой параметр. Случаи, когда такие интегралы явно вычисляются, крайне редки; еще реже удается просуммировать ряды. При больших значениях параметра вычисление интегралов и рядов – весьма трудоемкая задача даже для самых современных ЭВМ. Поэтому решающую роль играют асимптотические методы. В книге изложены основные методы вычисления асимптотики интегралов и рядов и основные результаты, полученные к настоящему времени этими методами.В гл.I приведены основные сведения об асимптотических оценках, асимптотических рядах и даны простейшие методы вычисления асимптотики интегралов, сумм и рядов. Исследована асимптотика интегралов со слабыми особенностями.В гл.II изложен метод Лапласа, в гл.III – метод стационарной фазы для одномерных и многомерных интегралов.В гл.IV изложен важнейший метод вычисления асимптотики интегралов от аналитических функций – метод перевала (в одномерном случае). Приведены формулы суммирования Пуассона и Эйлера – Маклорена и их применения к вычислению асимптотики рядов. Метод перевала в многомерном случае изложен в гл.V.В гл.VI рассмотрены различные случаи слияния критических точек подынтегральной функции: близкие точки перевала, полюс и точка перевала и другие.Рассмотрен ряд приложений: вычисление асимптотики интегральных преобразований, решений уравнений с частными производными, разностных уравнений, дифференциально-разностных уравнений, коэффициентов Тейлора, Лорана, Фурье аналитических функций, некоторые задачи теории вероятностей, статистической физики, теории дифракции, гидродинамики и другие.По мнению автора, при написании такого рода справочника нельзя было ограничиться только перечнем готовых формул, как это делается, например, в справочниках по специальным функциям. Поэтому в книге приведены выводы основных асимптотических формул и подробно рассмотрен ряд конкретных примеров. Надеюсь, что это поможет читателям овладеть основными асимптотическими методами. — М.В.ФедорюкАсимптотические разложения
Простейшие асимптотические оценки
Асимптотические ряды
Степенные асимптотические ряды
Интегралы со слабой особенностью
Корни трансцендентных уравненийМетод Лапласа
Интегралы Лапласа (одномерный случай)
Модификации метода Лапласа (одномерный случай)
Некоторые сведения из анализа
Метод Лапласа для кратных интегралов
Логарифмические асимптотики
Некоторые применения теории вычетов
Двумерное преобразование ЛапласаМетод стационарной фазы
Метод стационарной фазы в одномерном случае
Метод стационарной фазы в многомерном случае. Вклад от внутренней невырожденной стационарной точки
Применения многомерного метода стационарной фазы
Метод стационарной фазы. Вклад от граничных стационарных точек
Вырожденные стационарные точки
Особенности интегралов от быстро осциллирующих функций
Асимптотика преобразования Бесселя
Асимптотика преобразований Фурье обобщенных функцийМетод перевала (одномерный случай). Суммы и ряды
Метод перевала для интегралов Лапласа
Теоремы существования
Функция Эйри
Функции Бесселя
Асимптотика коэффициентов Тейлора, Лорана-Фурье аналитических функций. Некоторые задачи теории вероятностей, статистической физики и теории чисел
Асимптотика преобразования Лапласа
Асимптотика преобразования Фурье
Асимптотика преобразования Меллина
Точка перевала на бесконечности
Метод контурного интегрирования Лапласа
Асимптотика сумм, рядов и бесконечных произведенийМетод перевала (многомерный случай)
Основы метода перевала
Точки перевала полиномов и алгебраических функций. Теоремы существования
Асимптотика фундаментальных решений корректных по Петровскому уравнений
Устойчивость в С задачи Коши для разностных уравнений и уравнений с частными производными
Асимптотика некоторых коэффициентов ряда Фурье по сферическим гармоникамСлияние особенностей
Стационарная точка вблизи границы
Слияние двух точек перевала
Слияние полюса и точки перевала
Слияние нескольких точек перевала
Список литературы