Кулешов А.А. Анализ I. Краткий курс

Учебник. — Москва: Московский государственный университет (МГУ) имени М.В. Ломоносова, 2024. — 407 с.: ил. — (Классический университетский учебник).Учебник соответствует программе первого курса дисциплины «Математический анализ». В книге автор стремился дать полное, последовательное, математически строгое и при этом максимально компактное изложение всех основных входящих в программу этого курса определений, формулировок и доказательств. Автор также стремился сделать курс по возможности самодостаточным, поэтому в него включены некоторые сведения из других разделов математики: теории множеств, алгебры, общей топологии. В книгу также включены дополнительные параграфы, не входящие в стандартные программы курса.
Для студентов университетов и вузов с углубленным изучением математики. Может быть полезен аспирантам, преподавателям и научным работникам.Предисловие
О множествах
Общие понятия и логическая символика
Парадоксы наивной теории множеств
Об аксиоматических теориях множеств
О множестве натуральных чисел
Упорядоченные пары, декартовы произведения и функции
Упорядоченные множества и лемма Цорна
Понятие мощности множества и арифметика кардинальных чисел. Теоремы Кантора и Кантора–Бернштайна
Свойства кардиналов ℵ₀ и C
Вещественные числа
Определение множества вещественных чисел и правила их сравнения
О приближении вещественных чисел рациональными
Ограниченные числовые множества
Арифметические операции над вещественными числами и их основные свойства
Предел числовой последовательности
Cходящиеся последовательности и их основные свойства
Монотонные последовательности и число e
О гармоническом ряде
Теорема Штольца
Принцип вложенных отрезков и лемма Гейне–Бореля
Подпоследовательности и частичные пределы
Критерий Коши существования предела последовательности
О полноте поля вещественных чисел
Предел и непрерывность функции одной переменной
Определение предела функции по Коши и по Гейне, основные свойства предела
Непрерывность функции в точке и на множестве. Основные свойства непрерывных функций
Монотонная функция. Обратная функция
Классификация точек разрыва. О точках разрыва монотонной функции
Простейшие элементарные функции
Показательная, логарифмическая и степенная функции
Об углах, их мере и тригонометрических функциях
Обратные тригонометрические функции
Определение и основные свойства о-малых
Два замечательных предела
Асимптотические представления некоторых элементарных функций в нуле
Равномерная непрерывность
Дифференцируемость функции одной переменной
Основные определения и свойства
О касательной прямой
Производные высших порядков
Основные теоремы о дифференцируемых функциях
О производных простейшей неявно заданной функции
Формула Тейлора
Исследование функций методами дифференциального исчисления
Достаточные условия экстремума
О выпуклых функциях
Неравенства Йенсена, Янга, Гёльдера, Коши-Буняковского, Минковского
Об асимптотах и точках перегиба графика функции
Первообразная
Основные свойства первообразной и неопределённого интеграла
О комплексных числах, многочленах и рациональных функциях
Комплексные числа
Многочлены
Разложение рациональной функции на простейшие дроби
Неопределённые интегралы рациональных функций
Неопределённые интегралы некоторых тригонометрических и иррациональных функций
Гиперболическая тригонометрия
Нахождение интегралов вида ∫ R(sh(t), ch(t))dt
Нахождение интегралов вида ∫ R(t, √(at+b)/(bt + c)dt
Нахождение интегралов вида ∫ R(t, √(at²+bt + c))dt
Интеграл Римана
Определённый интеграл
Основные определения
Cвойства сумм Дарбу
Классы интегрируемых функций
Свойства интеграла Римана
Формула Ньютона–Лейбница и теоремы о среднем
Теорема Тейлора с остаточным членом в интегральной форме
Несобственный интеграл
Некоторые приложения дифференциального и интегрального исчислений
Вычисление корней уравнений
Численное интегрирование
Спрямляемые кривые, мера Жордана и её связь с интегралом Римана
О нормированных пространствах
Спрямляемые кривые
Мера Жордана
Связь меры Жордана с интегралом Римана
Функции многих переменных
Предел и непрерывность
Предел последовательности
Предел функции
Непрерывность
Дифференцируемость
О линейных операторах
Дифференциал и производная
Частные производные
Дифференциалы и частные производные высших порядков
Формула Тейлора
Теоремы о неявной функции
Экстремум
Безусловный экстремум
Условный экстремум
Функциональная зависимость
Дополнения
Критерий Лебега интегрируемости по Риману
О метрических и топологических пространствах. Универсальное топологическое пространство R
Метрические пространства
Топологические пространства
Об инвариантности меры Жордана относительно изометрии
Основная теорема алгебры
О композициях многократно дифференцируемых функций
Обобщённая теорема Янга
Список литературы
Предметный указатель
Список обозначений