Понтрягин Л.С. Знакомство с высшей математикой: Анализ бесконечно малых

М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980. — 256 с. — (Знакомство с высшей математикой).Предлагаемая книжка является второй из серии четырех небольших сравнительно- популярных книг издаваемых мною под общим заглавием «Знакомстве с высшей математикой». Первая книжка «Метод координат» уже вышла в 1977 году. Эта вторая книжка посвящена изложению основных фактов математического анализа.
Изложение ведется так, чтобы всюду, где это возможно, одновременно рассматривать как действительный, так и комплексный случай. В первую очередь это относится к определению сходимости последовательностей и рядов, в частности степенных рядов. Точно так же определение производной дается одновременно для функций действительного и комплексного переменного, так как формально оно одинаково для обоих случаев. Понятие первообразной функции определяется одинаково как для функции действительного переменного, так и для функции комплексного переменного. Одновременно доказывается единственность первообразной с точностью до постоянного слагаемого. Такой способ изложения дает, возможность сравнительно легко включить в книгу основные результаты теории функций комплексного переменного, что составляет ее четвертую главу. Эта глава является важнейшей завершающей частью книги и доведена до таких сравнительно сложных результатов, как ряд Лорана и поведение функции вблизи изолированной особой точки.
Те вопросы анализа, которые составляют так называемую теорию функций действительного переменного, я стараюсь отодвинуть на задний план, считая их наименее интересными. Я не свел их вместе, а 4 разбросал по всей книжке, излагая там, где в них возникает необходимость.
Центральное место в первой главе занимает изучение функции exp(z) комплексного переменного z, которая задается степенным рядом.
Доказывается, что при действительном значении z = х мы имеем равенство а для чисто мнимого значения z = iy имеется формула exp(iy) = cos(y) + i sin(у).
Таким образом, не пользуясь дифференциальным исчислением, мы сразу получаем разложение основных трансцендентных функций е^х, cos(y), sin(у) в степенные ряды.
Нужно обратить внимание на следующее обстоятельство. Когда мы доказываем, что некоторая как-либо заданная функция разлагается в степенной ряд, то для этого достаточно доказать, что ряд сходится к некоторому определенному числу — значению функции. Если же мы хотим определить саму функцию при помощи ряда, то для этого нужно доказать, что ряд сходится, для чего необходимо использовать признак сходимости Коши и дать точное определение числа. Весь этот аппарат излагается в первой главе.Глава II посвящена изложению основных результатов дифференциального исчисления. Прежде всего определяется производная одновременно как для функции действительного переменного, так и для функции комплексного переменного и вводится понятие интегрирования как операции, обратной к операции дифференцирования. Завершением главы является доказательство формулы Тейлора с остаточным членом в интегральной форме.Глава III посвящена интегральному исчислению. В ней интеграл определяется сперва интуитивно, как величина площади, ограниченной графиком, и доказывается, что так определенный интеграл является первообразной для функции, задающей график.