Александрова Е.Б., Свенцицкая Т.А., Тимофеева Л.Н. Теория функций комплексного переменного

Учебное пособие. — Под. ред. Г.Г. Хамова. — СПб.: Российский государственный педагогический университет (РГПУ) имени А.И. Герцена, 2006. — 168 с.В учебном пособии рассмотрены основополагающие понятия теории функций комплексного переменного. В нем уделено внимание вопросам дифференцирования и интегрирования функций комплексного переменного, разложения в ряды Тейлора и Лорана.
Для студентов, обучающихся по направлению 540200 «Физико-математическое образование».Введение.
Комплексные числа и действия с ними.
Определение комплексного числа. Арифметические действия с комплексными числами.
Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Возведение комплексных чисел в натуральную степень.
Извлечение корня из комплексных чисел.
Последовательности комплексных чисел. Бесконечно удаленная точка. Расширенная комплексная плоскость.
Стереографическая проекция.
Числовые ряды с комплексными членами.
Функции комплексного переменного.
Основные определения.
Производная функции комплексного переменного. Условие Коши-Римана.
Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Ряды функций комплексного переменного.
Степенные ряды.
Определение функций z^e, sinz, cosz. Формулы Эйлера.
Линейная функция.
Функция w=1/z.
Дробно-рациональная функция.
Степенная функция.
Функция Жуковского.
Функция e^z.
Тригонометрические и гиперболические функции.
Логарифмы комплексных чисел.
Интегралы.
Интеграл комплекснозначной функции вещественного аргумента по отрезку.
Интегрирование функции комплексного переменного по кривой.
Теорема Коши для односвязной области и ее обобщение на многосвязную область.
Первообразная функция.
Формула Коши.
Ряды Тейлора и Лорана. Вычеты и их применение.
Ряд Тейлора.
Нули аналитической функции.
Ряд Лорана.
Изолированные особые точки аналитической функции.
Поведение аналитической функции в окрестности бесконечно удаленной точки.
Вычеты и их приложения.
Приложение.