Шмелев П.А. Пределы функций и последовательностей

Учебное пособие. — М.: Московский энергетический институт (МЭИ), 1974. — 157 с.Предназначено для студентов первых курсов всех факультетов МЭИ. Особенно оно будет полезным для студентов-вечерников. Как методическое, оно будет полезным и для преподавателей. Его цель — помочь студенту, начинающему изучать высшую математику, разобраться в наиболее сложных первоначальных понятиях и теоремах математического анализа, глубже понять их и научиться применять к решению различных задач. От стабильных учебников пособие отличается тем, что:
а) не содержит· доказательств тех теорем , которые имеются в стабильных учебниках, хотя и напоминает многие из них;
б) содержит ряд дополнительных теорем с доказательствами, не содержащихся в стабильных учебниках, но полезных для практических применений. К таким теоремам, например, относятся: теорема о замене переменной при вычислении пределов, теорема о вычислении пределов «типа е», теорема о замене бесконечно малых им эквивалентными при вычислении пределов отношений сумм функций, теоремы о связи между пределами функций при x → ∞ и пределами последовательностей при n → ∞, и ряд других;
в) оно содержит подробные разъяснения почти ко всем основным понятиям курса «Введение в анализ» и обращает внимание читателя на ряд тонкостей как в самих этих понятиях, так и в их применении. Такие разъяснения в стабильные учебники обычно не включаются;
г) оно содержит большое число указа ний по методике решения примеров и задач (главным образом на вычисление пределов функций и последовательностей). В нем рассматривается, в частности, как применить хорошо разработанный аппарат теории пределов функций для вычисления пределов последовательностей;
д) оно содержит большое количество примеров для самостоятельных упражнений и вопросов для самоконтроля. В тех случаях, когда такие примеры имеются в стабильных задачниках, указываются номера тех задач, которые рекомендуется прорешать.Число. Множество. Функция.
Предел функции в точке.
Основные приемы вычисления пределов алгебраических функций.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Бесконечные пределы.
Использование непрерывных функций при вычислении пределов.
Замена переменной при вычислении пределов.
Вычисление пределов, содержащих под своими знаками тригонометрические функции. Первый замечательный предел.
Второй замечательный предел. Раскрытие неопределенностей вида 1^∞.
Пределы при x → 0: (ln(1 + x)) / x, (e^x - 1) / x, ((1 + x)^a - 1) / x и к ним сводящиеся.
Односторонние пределы, односторонние бесконечно большие, односторонняя непрерывность. Разрывы.
Сравнение бесконечно малых.
Использование эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов.
Пределы функций при x → ±∞.
Поведение функции при стремлении аргумента к точке разрыва и при x → ±∞. Классификация точек разрыва.
Предел последовательности.
Приемы вычисления пределов последовательностей.
Признаки существования предела последовательности.
Задача о вычислении прибыли по сложным процентам.
Второе определение предела функции в точке.
Литература.