Гребенча М.К., Новоселов С.И. Курс математического анализа. Том 2

3-е изд. — Москва: Высшая школа, 1961. — 559 с.При составлении второго тома «Курс математического анализа» так же, как и первого, авторы исходили из потребностей будущего учителя математики. Мы стремились дать по возможности ясное и отчетливое
изложение основных принципиально важных вопросов курса, не обременяя его деталями, содержащимися в полных современных курсах анализа. Ряд теорем и доказательств даны в настоящей книге не в самой общей форме, однако авторы всегда старались точно оговорить те условия, при которых проведены соответствующие доказательства. Вместе с тем авторы старались выбирать такие способы доказательств, при которых становятся очевидными возможные
обобщения, и в наиболее важных случаях указать пути этих обобщений. В настоящей книге авторы стремились сохранить тот же характер изложения, который был принят во втором издании первого тома данного курса. Мы исходили из глубокого убеждения в целесообразности строго систематического, по возможности, немногословного
изложения, стремились избегать, так называемой, повествовательной формы изложения, которая (по убеждению авторов) совершенно не оправдала себя в книгах, предназначенных для учебных целей.Предисловие.
Точечные множества в евклидовом пространстве.
Введение.
Евклидовы плоскость и пространство.
Евклидово пространство n измерений.
Простейшие точечные множества в пространстве E_n.
Ограниченные и неограниченные множества.
Окрестности, предельные точки.
Открытые и замкнутые множества, области.
Принцип стягивающихся кубов.
Принцип предельных точек.
Функции нескольких аргументов.
Функции точки.
График функции двух аргументов.
Предел функции в точке.
Непрерывные функции.
Функции, непрерывные в замкнутой области.
Понятия поверхности.
Предельная функция.
Повторные пределы.
Равномерная сходимость.
Геометрическая интерпретация равномерной сходимости.
Критерий Коши.
Предельный переход под знаком интеграла.
Переход к пределу под знаком производной.
Дифференциальное исчисление функций нескольких аргументов.
Частные производные.
Теорема Лагранжа.
Дифференцируемые функции.
Касательная плоскость к поверхности.
Дифференцирование сложных функций.
Производная функции по направлению.
Теорема Эйлера об однородных функциях.
Частные производные высших порядков.
Производные высших порядков от сложных функций.
Формула Тейлора.
Экстремумы функций нескольких аргументов.
Неявные функции, отображения.
Регулярные отображения.
Неявны функции.
Дифференцируемость неявных функций.
Об исследовании неявных функций.
Основные свойства регулярных отображений.
Зависимость между функциями.
Геометрические приложения.
Криволинейные координаты.
Понятие о многомерной поверхности.
Условный экстремум.
Числовые ряды.
Понятие ряда, сходящиеся и расходящиеся ряды.
Критерий Коши.
Основные теоремы о рядах.
Знакопостоянные ряды.
Признаки сходимости и расходимости знакопостоянных рядов.
Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
Об оценке погрешностей при вычислениях с рядами.
Теоремы о перестановке членов ряда.
Действия над рядами.
Теорема о группировке членов абсолютно сходящегося ряда. Двойные ряды.
Функциональные ряды.
Понятие функционального ряда.
Равномерно сходящиеся ряды и их свойства.
Почленное дифференцирование и интегрирование функциональных рядов.
Степенные ряды.
Равномерная сходимость степенного ряда.
Арифметические действия над степенными рядами.
Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
Ряд Тейлора.
Теорема единственности. Техника разложения функций в степенные ряды.
Понятие аналитической функции.
Понятие об аналитических функциях комплексного аргумента.
Аналитическое определение показательной и тригонометрических функций.
Представление функций при помощи рядов. Приближённое вычисление значений функции.
Ортогональные системы. Ряды Фурье.
Ортогональные системы функций.
Ряд Фурье.
Сходимость в среднем, замкнутые ортонормальные системы.
Тригонометрическая система.
Интегральное представление частной суммы ряда Фурье.
Сходимость ряда Фурье.
Разложение функций в тригонометрические ряды.
Равномерная сходимость ряда Фурье.
Замкнутость тригонометрической системы.
Понятие о приложениях рядов Фурье.
Численные и графические методы анализа.
Точечное интерполирование. Формула Лагранжа.
Разности различных порядков и факториальные полиномы.
Интерполяционная формула Ньютона.
Остаточный член интерполяции.
Графические методы.
Кратные интегралы.
Квадрируемые фигуры.
Свойства квадрируемых фигур.
Правильные разбиения.
Понятие кубируемой фигуры.
Простейшие квадрируемые фигуры.
Интегральные суммы.
Кратные интегралы.
Геометрическая интерпретация двойного интеграла.
Теоремы об интегрируемых функциях.
Повторные интегралы, распространённые на прямоугольник.
Вычисление кратных интегралов посредством повторных.
Интегрирование подстановкой.
Формулы преобразования интегралов к полярным, цилиндрическим и сферическим координатам. Примеры.
Площадь кривой поверхности.
Основные свойства площади поверхности.
Приложения кратных интегралов к механике.
Криволинейные интегралы. Интегралы по поверхности.
Ориентирование линии.
Криволинейные интегралы.
Аппроксимация интегралами по ломаным.
Формула Грина.
Условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интеграции.
Условия интегрируемости. Отыскание функции по её дифференциалу.
Механическая интерпретация криволинейного интеграла.
Двойные интегралы по ориентированным областям.
Ориентированные поверхности.
Интегралы по поверхности.
Формула Остроградского.
Формула Стокса.
Понятие о приложениях интегралов по поверхности.
Интегралы, содержащие параметр. Несобственные интегралы.
Определённый интеграл как функция параметра.
Основные теоремы о несобственных интегралах.
Несобственные интегралы, содержащие параметр.
Примеры вычисления несобственных интегралов.
Понятие о несобственных кратных интегралах.
Дополнение.
Понятие топологического пространства.
Понятие метрического пространства.
Алфавитный указатель.