Карасёв Р.Н. Отдельные темы математического анализа

М.: МФТИ, 2019. — 395 с.В первом разделе даётся определение действительного числа и проверяется свойство полноты, изучаются пределы последовательностей и топология на прямой, определяется экспонента и тригонометрические функции. Второй раздел содержит стандартные сведения про функции одной переменной, непрерывность, пределы и производные, теоремы о среднем, правило Лопиталя и формулу Тейлора. В третьем разделе обсуждается понятие метрического пространства, в качестве основного примера используется евклидово пространство. Обсуждается топология в метрических пространствах, компактность и связность, непрерывные и равномерно непрерывные отображения, полунепрерывные функции. Изучаются кривые в метрическом пространстве, линейная связность, длина кривой и внутренняя метрика. Четвёртый раздел содержит стандартный материал про комплексные числа и многочлены, абсолютное и условное суммирование числовых и функциональных рядов и интеграл Римана для функции одной переменной. Эти темы изложены сравнительно стандартным образом, но также рассмотрены более сложные вопросы про приближение непрерывных функций алгебраическими и тригонометрическими многочленами вплоть до теоремы Стоуна–Вейерштрасса в почти полной общности. В пятом разделе, после быстрого знакомства с мерой элементарных множеств и мерой Жордана в евклидовом пространстве, излагаются основы меры и интеграла Лебега вплоть до теоремы Фубини и линейной замены переменных в интеграле. Делаются вычисления некоторых полезных интегралов, изучаются гамма и бета-функции. Изучается вопрос о справедливости формулы Ньютона–Лейбница в общем виде, в частности дифференцирование интеграла Лебега функции одной переменной по пределу интегрирования. В шестом разделе рассматриваются основы дифференциальной геометрии: дифференцирование функций нескольких переменных и гладкие отображения, экстремумы функций нескольких переменных, касательные векторы и дифференциальные формы, интегрирование дифференциальных форм и замена переменных в интеграле, формула Стокса. Формула Стокса излагается с использованием понятия гладкого многообразия, вложенного в евклидово пространство, а также обсуждается понятие абстрактного гладкого многообразия. В седьмом разделе обзорно представлены дальнейшие сведения про гладкие многообразия: первообразные дифференциальных форм и когомологии де Рама, степень отображения, интегрирование векторных полей, производная Ли и скобка Ли, основы римановой геометрии и примеры пространств общей теории относительности. Изложение в этом разделе не претендует на полноту и интересующийся читатель может продолжить изучение это темы с помощью учебника по дифференциальной геометрии. В восьмом разделе рассматриваются ряды и интегралы Фурье. Использование интеграла Лебега позволяет навести некоторую строгость по сравнению со стандартными учебниками, работать сразу с пространствами L p , дифференцировать абсолютно непрерывные функции в обобщённом смысле, грамотно работать с интегралом Фурье и свёрткой. В девятом разделе приводятся базовые сведения из функционального анализа, изучается гильбертово пространство и банаховы пространства. Вводится понятие двойственного пространства, изучаются общие факты о нём и рассматриваются конкретные примеры. Изучаются общие свойства рядов Фурье, сходимость в гильбертовых пространствах и отсутствие сходимости для непрерывных функций в общем случае. Определяются разные классы распределений (обобщённых функций), изучаются операции с ними и их базовые свойства. В конце изложение становится обзорным и интересующийся читатель может продолжить изучение темы с помощью учебника по функциональному анализу. В десятом разделе приводятся базовые сведения по комплексному анализу, вплоть до доказательства теоремы Римана об отображении для областей на комплексной плоскости, обсуждения универсальных накрытий и формулировки общей теоремы Римана для односвязных многообразий. Более продвинутые вопросы, связанный с понятием субгармонических функций или оператором Лапласа на комплексных поверхностях в этом разделе не рассматриваются, при необходимости читатель может продолжить их изучение по соответствующим учебникам.