Александров А.Ю., Жук В.В., Камачкин А.М. Лекции по математическому анализу (первый семестр)

СПб.: Без издательства, 2012. — 121 с.Пособие создано на базе хорошо известных учебных пособий по математическому анализу. В его основу положены лекции В. В. Жука, которые неоднократно читались им в первом семестре на факультете прикладной математики-процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета и в ряде других университетов для специальностей с повышенной математической подготовкой. Изложение носит, вообще говоря, несколько сухой характер, что связано с тем, что в него не вошли многочисленные неформальные разъяснения и отступления, сопровождающие реальное чтение лекций. Особо отметим, что авторы не претендуют на оригинальность. Они просто надеются, что данное пособие будет способствовать лучшему усвоению студентами курса лекций и поможет им при подготовке к экзамену.Предисловие
Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Введение
Первоначальные сведения о множествах
Вещественные числа
Бином Ньютона
Два неравенства Коши
Ограниченные и неограниченные множества. Верхняя и нижняя грани
Функции
Мощность множества. Счетные множества
Числовые последовательности. Множества мощности континуума
Предел последовательности
Монотонные последовательности. Число e
Лемма о вложенных отрезках. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса
Множество мощности континуума
Фундаментальные последовательности. Критерий Коши
Предел функции
Определение предела функции
Свойства пределов функции
Предел монотонных функций. Критерий Коши существования предела функций
Замечательные пределы lim x→0 sin(x)/x, lim x→0 (1 + x)^1/x
Сравнение функций. Метод выделения главной части функции
Непрерывные функции
Точки непрерывности и точки разрыва функции
Обратные функции. Непрерывность элементарных функций
Функции непрерывные на отрезке
Производная и дифференциал
Определение производной и дифференциала
Геометрический и механический смысл производной
Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями
Производная обратной функции. Дифференцирование сложной функции. Инвариантность формы дифференциала
Производные основных элементарных функций
Производные и дифференциалы высших порядков
Основные теоремы дифференциального исчисления
Теоремы о среднем значении для дифференцируемых функций
Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
Формула Тейлора
Интерполяционный многочлен Лагранжа
Исследование функций с помощью производных
Признак монотонности функции. Экстремумы
Асимптоты
Выпуклость и точки перегиба
Интегралы и ряды
Первообразная и неопределенный интеграл
Понятие первообразной и неопределенного интеграла
Интегрирование по частям. Замена переменной
Определенный интеграл Римана
Определение интеграла
Суммы Дарбу
Условия существования интеграла Римана
Свойства интегрируемых функций
Свойства определенных интегралов, выражаемые равенствами
Свойства определенных интегралов, выражаемые неравенствами
Классы интегрируемых функций
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Литература