Клементьев З.И. Лекции по математическому анализу. Выпуск 3. Дифференциальное исчисление действительных функций действительного переменного

Учебное пособие. — Томск: Издательство Томского университета, 1985. — 135 с.Третий выпуск курса лекций по математическому анализу посвящён дифференциальному исчислению действительных функций одного действительного переменного.
Особенностью книги является подробное и достаточно полное изложение материала, сопровождаемое примерами и иллюстрациями.
Для студентов и преподавателей университетов, педагогических институтов и технических высших учебных заведений.Предисловие
Дифференциально исчисление для действительных функций действительного переменного
Вводные замечания
Понятие производной
Определение производного числа как предела отношения приращения функции к приращению аргумента. Дифференцируемость функции и аппроксимация её линейной функцией. Понятие производной функции. Значение производной в точке x₀ как скорость изменения функции в этой точке
Простейшие примеры дифференцирования функций. Дифференцирование суммы и произведения функций. Дифференцирование частного двух функций. Дифференцирование сложной и обратной функций
Примеры дифференцирования функций. Производная суммы функций. Производная произведения функций. Производная частного двух функций. Дифференциация сложной функции. Дифференциация обратной функции.
Производные функции от простейших элементарных функций. О Дифференциации сложных элементарных функций.
Формулы для производных функций от простейших элементарных функций. Дифференцирование сложных элементарных функций. О дифференциации показательно-степенной функции
Дифференциация функции независимой переменной.
Определение дифференциала. О дифференциале суммы, произведения и частного двух функций. О дифференциалах простейших функций
О дифференциале сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала функции.
Определение дифференциала сложной функции. Инвариантность формы дифференциала
Некоторые примеры физических понятий как производных
О геометрическом толковании (интерпретации) производной и о некоторых её геометрических применениях
Понятие касательной к кривой. О понятии нормали к кривой. О понятии угла между двумя кривыми. О некоторых отрезках и их длинах.
Производные высшего порядка
Определение производных высшего порядка. О производных высшего порядка от элементарных функций. Производные высшего порядка от суммы и от произведения функций
О дифференциалах высшего порядка функции независимой переменной
О дифференциалах и производных высшего порядка от сложных функций
О дифференциалах высшего порядка от сложных функций. О производных высшего порядка от сложных функций
Задачи и упражнения
Основные теоремы дифференциального исчисления и их применения
Теоремы Ферма, Ролла, Лагранжа, Коши. Раскрытие неопределённостей
Теоремы Ферма, Ролла, Лагранжа, Коши. Применение теоремы (формулы) Коши к вычислению пределов функций. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя
Формула Тейлора
Определение формулы Тейлора. Форма остаточного члена по Лагранжу, Коши и Пеано. Аппроксимация функций полиномами Тейлора
Примеры на разложение в строку Тейлора некоторых простейших элементарных функций
Задачи и упражнения
Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функции
Исследование функций на постоянство, возрастание, убывание
Экстремумы функции (максимумы и минимумы)
Исследование функций на выпуклость, вогнутость и перегиб
Об асимптотах функции
Об общем исследовании функции. Построение графика функции
Задачи и упражнения
Литература